Бутылка Клейна
Бутылка (поверхность) Клейна — это математическая неориентируемая поверхность, в которой неразличимы внутренняя и внешняя стороны. Бутылка Клейна впервые была описана в 1882 году немецким математиком Феликсом Клейном (Felix Klein). Эта поверхность тесно связана с другой загадочной поверхностью - лентой Мёбиуса. Исходное название бутылки Клейна - "Klein Fla-e-che" (Fläche = поверхность) поверхность Клейна. Однако, в названии слово Fläche было интерпретировано как Fla-s-che (бутылка), и из-за доминирования английского языка утвердилось в математической науке, и позднее термин "бутылка Клейна" также вошел в обиход и в Германии.
Представим себе бутылку с отверстием в дне. Теперь мысленно удлиним горлышко бутылки, изогнем его в обратном направлении и направим внутрь бутылки сквозь стенку, не касаясь ее (это невозможно
произвести в трехмерном пространстве), далее удлиним горлышко до дна бутылки и соединим края горлышка с краями отверстия в дне бутылки. Настоящая бутылка Клейна в четырехмерном пространстве не пересекается сама с собой.
В отличие от реальных бутылок, поверхность Клейна не имеет границы, где бы она прерывалась. В отличие от шара или тора, например, муравей, ползущий по поверхности бутылки Клейна, может попасть с внешней стороны на внутреннюю, не проходя сквозь поверхность.
Давайте определим, в чём сходство и в чём различия этих двух удивительных и загадочных объектов – ленты Мёбиуса и бутылки Клейна.
Если склеить две ленты Мёбиуса по краям - получится бутулка Клейна. Справедливо и обратное, если разрезать вдоль бутылку Клена - получатся две ленты Мёбиуса.